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用光影打開孩子大腦的幾何空間——勾股定理深度應(yīng)用（空間最短路徑）

如何把“兩點(diǎn)之間，線段最短“運(yùn)用到立體表面上，超級(jí)課堂帶你具體研究下空間最短路徑這類問(wèn)題！

      ▲基礎(chǔ)篇▲       

基礎(chǔ)例題1

解題思想：把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題

具體操作：將幾何體外表面展開

把正方體展開，畫出AB點(diǎn)的位置，連接AB，一共有6條路線：

但這6條路線的長(zhǎng)度一樣，都為矩形的對(duì)角線。

利用勾股定理，求解如下：

例題2

同樣將幾何體（圓柱）外表面展開，是一個(gè)長(zhǎng)方形

（具體解題查看視頻）

■進(jìn)階篇■

基礎(chǔ)變式

與立方體一樣有6種路線，但題目并沒(méi)有指定路線，而長(zhǎng)、寬、高又各不相等，所以6種路線的長(zhǎng)度不等。

由于長(zhǎng)方體相對(duì)的面全等，則把這六種路線分成三類討論：

1“前上”與“下后”

2“前右”與“左后”

3“左上”與“下右”

綜上，類3的選擇的路程最短。

學(xué)長(zhǎng)筆記：未定路線的長(zhǎng)方體表面最短路徑問(wèn)題需分類討論

       ★進(jìn)階篇★       

提高例題1

思考，細(xì)線總長(zhǎng)就是A和B的空間最短路徑長(zhǎng)度。所以把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開1次，路線選擇為前右后左，則展開圖唯一如下：

繞一圈時(shí)邊長(zhǎng)為3+1+3+1，8cm，思考，n圈的展開圖如下：

邊長(zhǎng)分別為8n和6cm，利用勾股定理得：

提高例題2

螞蟻會(huì)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)方體的三個(gè)側(cè)面，把這三個(gè)側(cè)面展開：

學(xué)長(zhǎng)提醒：增加的長(zhǎng)度為2個(gè)正方形邊長(zhǎng)，不是3個(gè)

（具體解題查看視頻）

學(xué)長(zhǎng)筆記：平面、空間混合問(wèn)題同樣把幾何體表面展開，化空間為平面。

       ●總結(jié)●       

1、遇到長(zhǎng)方體表面的最短路徑問(wèn)題時(shí)，如果題目沒(méi)有指定路線的選擇，要注意分類討論；

2、如果沿幾何體表面運(yùn)動(dòng)n圈，相當(dāng)于經(jīng)歷n次循環(huán)，展開圖中的長(zhǎng)要擴(kuò)大為n倍；

3、平面、空間的混合問(wèn)題只需要把經(jīng)歷的幾何體表面展開，與平面連接在一起便可以輕松解決。